1. Пространство и время: понятия, свойства, процедуры количественного описания Понятия пространства и времени - страница 15

^ § 2. Работа в однородном поле и поле центральных сил. Работа сил упругости Расчет работы в однородном поле силы тяжести.
Расчет работы сил упругости.
Работа в поле центральных сил.



Рис. 7.5. К расчету работы в однородном поле силы тяжести

^ Работа в однородном поле силы тяжести. Если на частицу, помещенную в некоторую область пространства, действует сила, то она находится в поле этой силы. Сила, действующая на произвольную частицу, помещенную в поле, обусловлена ее взаимодействием с телами (частицами), индуцирующими данное поле.

Пусть тело массой m перемещается из положения 1 в положение 2 в однородном поле силы тяжести. Согласно определению работа однородной силы тяжести не зависит от вида траектории равна (см. рис. 7.5):

Aт = (m·g, ∆r = m·g·∆r·cos = -(m·g·h2 - m·g·h1).     (7.8)

Работа в однородном поле силы тяжести не зависит от формы траектории, а определяется начальным и конечным положением тела.



Рис. 7.6. К расчету работы силы упругости


Работа сил упругости совершается за счет деформации обода ракетки и струн.
Мартина Хингис. Сидней, 2002.
http://hingis.agava.ru/news.php

^ Работа силы упругости. Тело массой m, скрепленное с пружиной жесткостью k, переместилось из положения 1 в положение 2. Сила упругости, действующая на тело, изменяется по закону F = -k·x. Работа силы упругости равна площади трапеции (см. рис. 7.6). Следовательно,

Aупр = -(k·x22/2 - k·x12/2).

Аналогичный результат получим, проведя интегрирование силы упругости в пределах от x1 до x2:

.     (7.9)

В случае одновременного действия сил упругости и сил, вызывающих поворот пружины относительно точки ее закрепления, работа по-прежнему вычисляется с помощью соотношения (7.9), поскольку последняя из сил перпендикулярна деформации и работы не совершает. Итак,

работа силы упругости определяется начальной и конечной деформацией тела (пружины) и не зависит от вида и характера его движения.

Работа в поле центральных сил.

^ Центральными называются силы, которые направлены к центру силового поля или от него и зависят только от расстояния до этого центра.

Примерами центральных сил являются гравитационные силы, силы электростатического взаимодействия точечных зарядов.

Вектор центральной силы ^ F(R) можно представить как произведение его модуля F(R) на единичный вектор eR, задающий направление радиус-вектора частицы, внесенной в поле, относительно центра этого силового поля F(R) = F(R)·eR.

 


Рис. 7.7. К расчету работы центральных сил

Рассчитаем работу в поле центральных сил. Согласно определению элементарной работы:

dA = (F, dr) = F(R)·dr·cos(α) = F(R)·dR,
где dR - проекция вектора перемещения на направление силы
(см. рис. 7.7).

Работа силы на конечном перемещении тела из положения 1 в 2 равна интегралу:

,     (7.10)

значение которого определяется видом зависимости F(R), т.е. характером взаимодействия, а также начальным и конечным положением тела и не зависит от способа перехода между этими состояниями.

Для гравитационных полей, формируемых частицами или телами со сферически-симметричным распределением масс, величина работы с учетом выражения для силы гравитационного взаимодействия рассчитывается согласно формуле (7.11):

,    (7.11)
где G - гравитационная постоянная;
(R, dR) - скалярное произведение векторов R и dR.

Итак, мы показали, что работа в однородном поле силы тяжести, поле центральных сил и работа сил упругости не зависит от формы пути и характера движения, а определяется начальным и конечным положением тел в системе.


^ § 3. Консервативные силы и потенциальная энергия Потенциальная энергия функция характера взаимодействия и положения взаимодействующих тел.
Связь силы и потенциальной энергии.
Графическое представление потенциальных полей.



Рис. 7.8. К расчету работы консервативных сил по замкнутой траектории (замкнутому контуру)

Консервативные и неконсервативные силы.

Силы, работа которых не зависит от формы траектории и характера движения при переходе системы из начального состояния в конечное, а определяется только взаимным положением тел системы, называются консервативными.

^ Работа консервативных сил по замкнутой траектории равняется нулю.

 .    (7.12)

Действительно, при перемещении тела из положения 1 в положение 2 работа консервативных сил одинакова вне зависимости от формы траектории A132 = A142. При обратном движении из 2 в 1 вектор силы на любом участке перемещения не зависит от направления движения тела, а направление вектора перемещения меняется на противоположное по сравнению со случаем движения по траектории 1-4-2. Следовательно, работа на конечном участке перемещения так же изменит свой знак на противоположный A241 = -A142 (см. рис. 7.8). Для любой траектории A132 + A241 = 0.

Все силы, работа которых по замкнутому контуру не равняется нулю, называются неконсервативными.

К неконсервативным относятся диссипативные силы. Суммарная работа всех внутренних диссипативных сил системы на любом участке траектории отрицательна в любой произвольно выбранной ИСО. Диссипативными являются силы трения, сопротивления. К диссипативным относятся все силы, которые могут быть представлены в виде:
 

dissipation - рассеивание

F = -h(υ)·υ,   
где υ - относительная скорость движения тел;
h(υ) - положительный коэффициент, который в общем случае
может зависеть от скорости.

Докажем это утверждение. Внутренние диссипативные силы встречаются в системе попарно. В соответствии с третьим законом Ньютона F1 = -F2. Элементарная работа этих сил на любом участке траектории равна:

dAд = (F1, υ1·dt) + (F2, υ2·dt) = (F1, υ1·dt) - (F1, υ2·dt) =
= (F1, (υ1 - υ2)·dt) = (F1, υ·dt) = -(h·υ, υ·dt) = -h·υ2·dt,
где υ - скорость движения 1-го тела относительно 2-го.

Поскольку все величины h и υ2 положительны, то в соответствии с полученным выражением элементарная работа произвольной пары диссипативных сил отрицательна. Следовательно, работа всех диссипативных сил на любом участке траектории также отрицательна.



взаимодействие +
конфигурация

 

 

 

 

 

 

 

 


Рис. 7.9. Прыжок ныряльщика.
Экстремальные виды спорта. Прыжок с горы. Русский экстрим.
http://www.ruexp.ru

Потенциальная энергия как функция взаимного положения тел системы. Для системы тел, в которой действуют только внутренние консервативные силы, характерна одна особенность, для установления которой воспользуемся рассмотренными выше примерами.
 

^ Система "Землятело"

Система "пружинатело"

Из уравнения (7.8) следует, что вблизи поверхности Земли
Aт = -(m·g·h), т. е. работа силы тяжести равна убыли величины m·g·h. Обозначим эту величину Eп и назовем ее потенциальной энергией системы "Землятело".

 Eп = m·g·h.     (7.13)

Из уравнения (7.9) следует, что 
Aупр = -(k·x2/2), т. е. работа силы упругости равна убыли величины k·x2/2. Обозначим эту функцию Eп и назовем ее потенциальной энергией системы "пружинатело".

 Eп = k·x2/2.     (7.14)

Система двух гравитирующих тел

Из уравнения (7.11) следует, что Aт = -(-G·m1·m2/r), т. е. работа гравитационных сил равна убыли величины -G·m1·m2/r. Обозначим эту величину Eп и назовем ее потенциальной энергией гравитационного взаимодействия системы двух тел.

 Eп = -G·m1·m2/r.     (7.15)

Потенциальная энергия для всех рассмотренных выше систем обладает одной общей особенностью – это функция взаимного положения тел системы, определяемая характером их взаимодействия.

^ Потенциальная энергия – функция, однозначно задаваемая характером взаимодействия тел системы, которая зависит от взаимного положения этих тел.

Убыль потенциальной энергии равна работе консервативных сил Акс, совершаемой при переходе системы из одного состояния в другое Акс = -Eп.

Конкретный вид зависимости Eп от взаимного положения тел (конфигурации) системы определяется характером взаимодействия ее частей.

Пример. Один из экстремальных видов спорта – прыжки с различных высоких объектов (гор, мостов и т. п.). При прыжке ныряльщика в воду (см. рис. 7.9) консервативная сила притяжения к Земле совершает работу, которая равна изменению потенциальной энергии спортсмена, взятой с обратным знаком.

Если система находится во внешнем поле консервативных сил, то потенциальную энергию системы можно рассматривать как сумму собственной потенциальной энергии, обусловленной взаимодействием ее частей, и потенциальной энергии системы (как целого) в поле внешних консервативных сил.



 

^ Особенности потенциальной энергии:



потенциальная энергия задается характером взаимодействия частей системы, следовательно, выражения для ее расчета при разных типах взаимодействия различны;



потенциальная энергия характеризует способность системы совершать работу исключительно за счет консервативных сил Aкс = -(Eп2 - Eп1).;



потенциальная энергия определяется с точностью до постоянного слагаемого, поскольку физический смысл имеет только ее изменение, а не собственно значение. За нулевой уровень потенциальной энергии обычно принимают энергию некоторого произвольного состояния системы, исходя из удобства рассмотрения задачи и разумных соображений. В частности, для тела, находящегося в однородном поле силы тяжести, потенциальная энергия принимается равной нулю при расположении тела на поверхности Земли. В общем случае рассмотрения гравитационного взаимодействия Eп = 0 при бесконечно большом удалении взаимодействующих тел друг от друга.



 

^ Связь силы и потенциальной энергии. Работа консервативных сил не зависит от формы траектории. Следовательно, потенциальная энергия, изменение которой, взятое с обратным знаком, равно этой работе, может служить характеристикой силового поля. Про тела, которые могут совершить работу, говорят, что они обладают энергией.

^ Потенциальная энергия  физическая величина, показывающая, какую работу могут совершить внутренние консервативные силы над телом. 

Установим связь между потенциальной энергией и силами, формирующими это потенциальное поле. Рассмотрим сначала одномерное движение частицы под действием некоторой внутренней консервативной силы Fx. Исходя из определений элементарной работы и потенциальной энергии, имеем:

dA = Fxdx = -dEп.     (7.16)

Следовательно, Fx = -dEп/dx, т.е. проекция силы есть производная от потенциальной энергии по координате.

В случае трехмерного движения каждая составляющая проекции вектора силы зависит от скорости изменения потенциальной энергии в пространстве аналогичным образом. Тогда в соответствии с принципом суперпозиции вектор силы равен градиенту Eп:

.     (7.17)

Вектор

     (7.18)

называется градиентом функции f(x, y, z).

f(x, y, z) - некая произвольная функция, зависящая от переменных
 x, y и z;


Вектор градиента направлен в сторону наиболее быстрого изменения функции. Таким образом,

вектор силы равен градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком.

F = -grad(Eп).     (7.19)




Рис. 7.10. Эквипотенциальные поверхности и силовые линии гравитационного поля симметричного тела

Графическое представление потенциального поля. Потенциальное поле можно представить в виде геометрического образа. Для этого введем понятия эквипотенциальной поверхности (ЭП) и силовой линии (СЛ).

^ Поверхность равных значений потенциальной энергии называется эквипотенциальной.

На рис. 7.17 обычно изображают какой набор эквипотенциальных поверхностей силового поля, значение потенциальной энергии между соседними поверхностями которого отличается на одну и ту же величину. Чем больше густота этих поверхностей, тем большая сила действует на частицу, помещенную в данную пространственную область (7.17).

Сила, действующая на частицу, помещенную в поле, всегда перпендикулярна эквипотенциальной поверхности. Действительно, при перемещении частицы по эквипотенциальной поверхности потенциальная энергия не изменяется, а следовательно, работа не совершается. При наличии силового действия это возможно только в случае, если тангенциальная составляющая силы равняется нулю, т.е. сила направлена вдоль нормали к эквипотенциальной поверхности.

^ Линии, касательные к которым совпадают с направлением вектора силы, называются силовыми линиями.

Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
Реестр связанных сторон ОАО «мрск северо-Запада» и дочерних обществ, определенных в соответствии с требованиями мсфо (ias) 24, на 31. 12. 2010 Собственники - страница 29,
Глава 6. Планирование: корпоративная маркетинговая и коммуникационная иерархия - Рецензенты: д-р экон наук, проф,
Глава 26 - Фрайди роберт хайнлайн,
Анатолий Павлович Кондрашов Формула успеха. Настольная книга - страница 114,
ДОДАТКИ - Національний науковий центр «інститут аграрної економіки» української академії аграрних наук іпотечне...,
Учебное пособие. Спб.: Издательство «Речь», 2003. 480 с. Ббк88 - страница 25,
РОЛЬ КРЕДИТУВАННЯ ПРОМИСЛОВОЇ КООПЕРАЦІЇ УКРАЇНИ В УМОВАХ НЕПУ - Історія лілія Шологон,
ПРИЛОЖЕНИЕ 8Информация о поступивших в Законодательную Думу обращениях граждан в разрезе городских округов и муниципальных районов края в отчетном периоде,
ІНТЕРПОЛ В УКРАЇНІ - Мудрого Синьов Олександр Володимирович, кандидат юридичних наук Інтерпол. Міжнародна організація...,
Протокол №17 от 07 февраля 2012 г - страница 9,
Физика - Бюллетень новых поступлений за август 2003 года,
Министерство природных ресурсов пермского края лесохозяйственный регламент очерского лесничества - страница 33,
«закрепление пройденного, чтение текстов с буквами е е, ё ё»,
Вас литературы. Цена договорная. Все вопросы по приобретению литературы направляйте на адрес: Kazgasa @itte kz или Kazgasa @mail ru или по факсу: (727)-220-59-79,
Європейський демократичний доробок у галузі виборчого права - страница 2,
Конспект лекций Системное программирование (семестр 2) Возле названия каждой лекции написано число пар, в течение которых она будет читаться (+ ср обозначает - страница 7,
Карташев А. В - страница 88,
выполнять основные операции при создании движущихся изображений с помощью одной из программ,
Библиографический указатель 2000 г - страница 52,
Отчет федерального государственного образовательного учреждения среднего профессионального образования - страница 17,
Сергей Лукьяненко - страница 27,
Кашицин Николай Владимирович, старший преподаватель (ф и. о., ученое звание, ученая степень) учебно-методический комплекс - страница 4,
ГЛАВА 7^ ДИНАМИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ПСИХОЛОГИИ - История психологической,
Игорь Беляев. Духовный Принцип Вселенной Часть IV - страница 8,